– qálegen trigonometriyalıq teńlemeni sheshiw bir yamasa birneshe eń ápiwayı (tiykarǵı) teńlemelerdi sheshiwge alıp kelinedi. Bunday eń ápiwayı teńlemelerge alıp keliw barısı trigonometriyalıq funkciyalardı birdeylik túrlendiriw formulaları tiykarında hár qıylı túrlendiriwler járedeminde, sonday-aq, ózgeriwshilerdi almastırıw hám kóbeytiwshilerge jiklew járdeminde ámelge asırıladı. Ayırım trigonometriyalıq teńlemelerdi sheshiw usılların qaraymız. $1)$ Kvadrat teńlemelerge keltiriletuǵın teńlemeler. Mına $$a\sin^2 x+b\sin x+c=0; \quad a\cos^2 x + b\cos x + c=0\, (a\neq 0)$$ túrindegi teńlemelerdi bir trigonometriyalıq funkciyalarǵa qarata kvadrat teńlemeler dep ataydı. Bul teńlemeni berilgen trigonometriyalıq funkciyaǵa qarata ekinshi dárejeli algebralıq teńleme sıpatında sheship, onı eń ápiwayı trigonometriyalıq teńlemelerge alıp keliwge boladı. Joqarıdaǵı teńlemelerge $\sin^2 x$ tı $1-\cos^2 x$ qa yamasa $\cos^2 x$ tı $1-\sin^2 x$ qa almastırıw járdeminde mına $$a\sin^2 x+b\cos x+c=0; \quad a\cos^2 x+b\sin x+c=0 \, (a\neq 0)$$ teńlemelerin de alıp keliwge boladı. $2)$ $\sin x$ hám $\cos x$ qa qarata bir tekli teńlemeler. Sol jaǵı $\sin x$ hám $\cos x$ qa qarata bir tekli kópaǵzalı bolǵan$$ a\sin x+b\cos x=0 \quad (a\neq 0, \, b\neq 0); \eqno (1)$$ $$a\sin^2 x+b\sin x \cos x+c\cos^2 x = 0 \eqno (2)$$ teńlemeleri $\sin x$ hám $\cos x$ qa qarata bir tekli teńlemeler dep ataladı. (1) teńlemeni qarayıq. Onıń eki jaǵında $\cos x\neq 0$ ańlatpasına bólip, $$a\text{tg}x+b=0 \eqno(3)$$ teńlemeni alamız, bunnan $\text{tg}x=-\dfrac{b}{a}$, $x=-\text{arctg}\dfrac{b}{a}+\pi n$, $n\in Z$. (1) teńlemeni sheshiw barısında $\cos x\neq 0$ dep esaplap, $\cos x$ qa bólindi. Sonlıqtan, $x$ tıń $\cos x=0$ bolatuǵın mánisleri (1) teńlemeniń sheshimi bolama, sonı tekseriw kerek. Eger $\cos x=0$ bolsa, onda berilgen teńlemeden $a\neq 0$ bolǵanlıqtan, $\sin x=0$ boladı. Biraq, $\sin x=0$ hám $\cos x=0$ teńlikleri $x$ tıń hesh bir mánislerinde bir waqıtta orınlanbaydı, sebebi $\sin^2 x+\cos^2 x=1$. Solay etip, (1) teńlemeden (3) teńlemege ótkende korenler joǵalmaydı hám jat korenler de payda bolmaydı, yaǵnıy teńlemeler teń kúshli boladı. Endi (2) teńlemeni qarayıq. Bul teńlemeni, eger $a\neq 0$ bolsa, onda eki jaǵın da $\cos^2 x\neq 0$ ge bólip, $\text{tg}x$ qa qarata kvadrat teńlemege, yamasa eger $c\neq 0$ bolsa, onda $\sin^2 x\neq 0$ ge bóliw arqalı $\text{ctg}x$ qa qarata kvadrat teńlemege alıp keliwge boladı. (2) túrindegi teńlemege $$a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c \cos^2 x=d$$ teńlemesin de alıp keliw múmkin. Bunıń ushın tiykarǵı trigonometriyalıq birdeylikti paydalanıp sońǵı teńlemeniń oń jaǵın $d(\sin^2 x+\cos^2 x)$ ańlatpası menen almastırıw jetkilikli. Mısal $\sin^2 x+2\sin x\cos x=3\cos^2 x$ teńlemesin sheshiń. Sheshiliwi Bul $\sin x$ hám $\cos x$ qa qarata bir tekli teńleme; onıń barlıq aǵzaların $\cos^2 x\neq 0$ qa bólip, $\text{tg}^2 x+2\text{tg}x-3=0$ teńlemesin alamız. Sońǵı teńlemede $\text{tg}x=y$ belgilewi járdeminde jańa $y$ ózgeriwshisin kirgizip, $y^2+2y-3=0$ kvadrat teńlemesin alamız. Onı sheship, $y_1=-3$, $y_2=1$ korenlerin tabamız. Sonda $\text{tg}x=-3$, $\text{tg}x=1$ eń ápiwayı teńlemelerine iye bolamız. Bunnan berilgen teńlemeniń $$\begin{array}{l}x_1=\text{arctg}(-3)+\pi k=-\text{arctg}3 + \pi k, \, k\in Z,\\ [1mm]x_2=\text{arctg}1 + \pi k=\dfrac{\pi}{4} + \pi k, \, k\in Z\end{array}$$ sheshimlerin alamız. $3)$ {Kóbeytiwshilerge jiklew usılı}. Bul usıldı mısalda kórsetemiz. Mısal $\left(\sin\dfrac{3x}{2}-\cos\dfrac{3x}{2}\right)^2=1-\sin5x$ teńlemesin sheshiń. Sheshiliwi. Berilgen teńlemeni túrlendiremiz: $$\sin^2\dfrac{3x}{2}-2\sin\dfrac{3x}{2}\cdot\cos\dfrac{3x}{2}+\cos^2\dfrac{3x}{2}=1-\sin5x,$$ bunnan $1-\sin3x=1-\sin5x$, $\sin5x-\sin3x=0$. Sońǵı teńlemeniń sol jaǵın trigonometriyalıq funkciyalardıń ayırmasın kóbeymege túrlendiriw formasınan paydalanıp, $$2\sin\dfrac{5x-3x}{2}\cdot\cos\dfrac{5x+3x}{2}=0 \, \text{yamasa}\, \sin x\cdot\cos4x=0$$ teńlemesin alamız. Bunnan másele eki teńlemeni sheshiwge alıp kelindi: $$\sin x=0 \ \text{hám} \ \cos4x=0.$$ Birinshi teńlemeden $x=\pi n$, $n\in Z$, al ekinshi teńlemeden $4x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, bunnan $x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{4}n$, $n\in Z$. Solay etip, berilgen teńleme sheshimi $$x=\pi n, \quad x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{4}n, \quad n\in Z$$ boladı.